Question

（1）如圖1，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中點．求證：AE⊥PD．
（2）如圖2，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4．求證：平面BDE⊥平面BEC．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據底面ABCD為菱形與∠ABC的大小判斷AE與AD的垂直性，在根據線線垂直?線面垂直證明即可．
（2）利用平面幾何知識判斷底面BC與BD的垂直性，再根據線線垂直⇒線面垂直⇒面面垂．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC為正三角形．
∵E為BC的中點，∴AE⊥BC
又BC∥AD，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE，
又PA?平面PAD，AD?平面PAD，
且PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD
又PD?平面PAD，∴AE⊥PD．
（2）證明：∵四邊形ADEF為正方形，∴ED⊥AD．
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED?平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD
∴ED⊥BC
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2．
在△BCD中，BD=BC=2，CD=4，
根據勾股定理得BC⊥BD
又BD∩ED=D，
∴BC⊥平面BDE
又∵BC?平面BEC，
∴平面BDE⊥平面BEC
點評：（I）本題考查線面垂直的判定與性質．通過證線面垂直來證明線線垂直是空間中證明線線垂直的常用方法．
（II）考查面面垂直的判定．在空間中利用線面垂直來證面面垂直是常用方法．