Question

（本題滿分12分）已知定義域為（0，+∞）的函數f（x）滿足：

①x＞1時，f（x）＜0，②f（）=1，③對任意x，y（ 0，+∞），

都有f（xy）= f（x）+ f（y），求不等式f（x）+ f（5-x）≥-2的解集。

 

Answer 1

【答案】

。

【解析】

試題分析：（1）構造函數中兩個任意變量的函數值差，結合函數表達式得到函數單調性的證明。

（2）結合特殊值的函數值，得到f(4)=-2,進而得到函數的不等式的求解。

解：設0＜x1＜x2，則＞1，∵f（xy）= f（x）+ f（y）

∴f（x₂）= f（）= f（）+ f（x₁）

又∵x＞1時，f（x）＜0，∴f（）＜0

∴f（x₂）＜f（x₁），∴f（x）是（ 0，+∞）上的減函數。又∵f（1）= f（1）+ f（1）

∴f（1）=0，而f（）=1，∴f（2）= f（2）+ f（）=0

∴f（2）=-1，∴f（x）+ f（5-x）≥-2=2 f（2）= f（4）

∴，∴0＜x≤1，或4≤x＜5

∴原不等式的解集是。

考點：本題主要考查了函數的單調性的運用。

點評：解決該試題的關鍵是能利用已知條件分析得到函數的單調性的證明，結合已知的關系式將所求的表示為一個整體函數式，同時能結合單調性得到求解。