Question

【題目】如圖，在三棱臺ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB=2A1B1=2CC1 ， M，N分別為AC，BC的中點．
（1）求證：AB1∥平面C1MN；
（2）若AB⊥BC且AB=BC，求二面角C﹣MC1﹣N的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接B1N，B1C，

設B1C與NC1交于點G，在三棱臺ABC﹣A1B1C1中，

AB=2A1B1，則BC=2B1C1，

而N是BC的中點，B1C1∥BC，

則B1C1 NC，所以四邊形B1C1CN是平行四邊形，G是B1C的中點，

在△AB1C中，M是AC的中點，則MG∥AB1，

又AB1平面C1MN，MG平面C1MN，

所以AB1∥平面C1MN

（2）解：由CC1⊥平面ABC，可得A1M⊥平面ABC，

而AB⊥BC，AB=BC，則MB⊥AC，

所以MA，MB，MA1兩兩垂直，

故以點M為坐標原點，MA，MB，MA1所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．

設AB=2，則A1B1=CC1=1，AC=2 ，AM= ，

B（0， ，0），C（﹣ ，0，0），C1（﹣ ，0，1），N（﹣ ， ，0），

則平面ACC1A1的一個法向量為 =（0，1，0），

設平面C1MN的法向量為 =（x，y，z），

則 ，

取x=1，則 =（1，1， ），

cos＜ ＞= ，

由圖形得得二面角C﹣MC1﹣N為銳角，

所以二面角C﹣MC1﹣N的大小為60°．

【解析】（1）連接B1N，B1C，設B1C與NC1交于點G，推導出四邊形B1C1CN是平行四邊形，從而MG∥AB1 ， 由此能證明AB1∥平面C1MN．（2）以點M為坐標原點，MA，MB，MA1所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C﹣MC1﹣N的大小．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．