Question

如圖，平面ACB⊥平面BCD,∠CAB=∠CBD=90⁰, ∠BDC=60⁰,BC=6,AB=AC．

（Ⅰ）求證：平面ABD⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A—CD—B的平面角的正切值；

（Ⅲ）設過直線AD且與BC平行的平面為，求點B到平面的距離。

Answer 1

(1)證明見解析(2) 2(3)

解析:

（Ⅰ）證明  ∵平面ACB⊥平面BCD，∠CBD=90⁰，

∴DB⊥平面ACB, ∴DB⊥CA．又∠CAB=90⁰，∴CA⊥平面ADB

∴平面ACB⊥平面BCD． ——————————4分

（Ⅱ）解 設BC的中點為E，作EF⊥CD，垂足為F，連結AF。

∵AC=AB，∴AE⊥BC，∵平面ACB⊥平面BCD， ∴AE⊥平面BCD,

∴FE是AF在平面BCD內的射影，

∴AF⊥CD,

即∠AFE就是二面角A—CD—B的平面角。                        ———————6分

在等腰直角△ABC中，斜邊BC=6, ∴AE=3，且CE=3,

在Rt△CEF中，∠ECF=30⁰, ∴EF=,

∴tan∠AFE=，即二面角A—CD—B的平面角的正切值是2． ———————8分

（Ⅲ）解 如圖，設DC的中點為G，分別以直線EG．EB．EA為x．y．z軸，建立空間直角坐標系E—xyz．

∴A(0,0,3),B(0,3,0),D(,3,0)

,，

設過AD和BC平行的平面的一個法向量是n=（a,b,c），則有

且，即

且3b=0,取得n=，

∴點B到的距離d=。    ———————12分