Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）設為橢圓右頂點，過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于，兩點（異于），直線，分別交直線于，兩點. 求證：，兩點的縱坐標之積為定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）求出后可得橢圓方程.

（Ⅱ）當直線的斜率不存在，計算可得兩點的縱坐標之積為.當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，，則，聯立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達定理化簡后可得定值.

解：（Ⅰ）因為以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切，

所以半徑等于原點到直線的距離，，即.

由離心率，可知，且，得.

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）由橢圓的方程可知.

若直線的斜率不存在，則直線方程為，

所以.

則直線的方程為，直線的方程為.

令，得，.

所以兩點的縱坐標之積為.

若直線的斜率存在，設直線的方程為,

由得，

依題意恒成立.

設，

則.

設，

由題意三點共線可知，

所以點的縱坐標為.同理得點的縱坐標為.

所以

綜上，兩點的縱坐標之積為定值.