Question

實驗中學的三名學生甲、乙、丙參加某大學自主招生考核測試，在本次考核中只有合格和優秀兩個等次，若考核為合格，則授予10分降分資格；考核優秀，授予20分降分資格．假設甲乙丙考核為優秀的概率分別為

2

3

、

2

3

、

1

2

，他們考核所得的等次相互獨立．
（1）求在這次考核中，甲乙丙三名同學中至少有一名考核為優秀的概率．
（2）記在這次考核中甲乙丙三名同學所得降分之和為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）記“甲考核為優秀”為事件A，“乙考核為優秀”為事件B，“丙考核為優秀”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核為優秀”為事件E．則事件A、B、C是相互獨立事件，事件

.

A

.

B

.

C

與事件E是對立事件，于是利用間接法能夠求出甲乙丙三名同學中至少有一名考核為優秀的概率．
（2）ξ的所有可能取值為30，40，50，60．分別求出P（ξ=30），P（ξ=40），P（ξ=50），P（ξ=60）的值，由此能求出ξ的分布列和數學期望Eξ．

解答：解：（1）記“甲考核為優秀”為事件A，“乙考核為優秀”為事件B，“丙考核為優秀”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核為優秀”為事件E．
則事件A、B、C是相互獨立事件，事件

.

A

.

B

.

C

與事件E是對立事件，于是
P（E）=1-P（

.

A

.

B

.

C

）=1-（1-

2

3

）（1-

2

3

）（1-

1

2

）=

17

18

．…（4分）
（2）ξ的所有可能取值為30，40，50，60．
P（ξ=30）=P（

.

A

.

B

.

C

）=（1-

2

3

）（1-

2

3

）（1-

1

2

）=

1

18

，
P（ξ=40）=P（A

.

B

.

C

）+P（

.

A

B

.

C

）+P（

.

A

.

B

C）=

5

18

，…（6分）
P（ξ=50）=P（AB

.

C

）+P（A

.

B

C）+P（

.

A

BC）=

8

18

，
P（ξ=60）=P（ABC）=

4

18

．…（8分）
所以ξ的分布列為

ξ	30	40	50	60
P	1 18	5 18	8 18	4 18

∴Eξ=30×

1

18

+40×

5

18

+50×

8

18

+60×

4

18

=

145

3

．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意概率和排列組合知識的靈活運用．