Question

已知函數f（x）=x³-3x+1（x∈R）
（1）試利用單調性定義推導函數f（x）在給定區間[1，3]上的單調性；
（2）分析（1）的推導過程，說出函數f（x）的一個單調遞增區間為

[1，+∞）

（不必證明）；
（3）分析（1）的推導過程，說出函數f（x）的一個單調遞減區間為

（-∞，1]

（不必證明）．
（第（1）小題參考公式：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²））

Answer 1

分析：（1）在[1，3]上任取x1，x2 ，令x₁＜x₂，推導出f（x₁）-f（x₂）=（x13-3x1+1）-（x23-3x2+1）＜0，由此得到f（x）在給定區間[1，3]上單調遞增．
（2）和（3）利用定義法判斷函數的單調性直接填寫．

解答：解：（1）在[1，3]上任取x1，x2 ，令x₁＜x₂．
f（x₁）-f（x₂）=（x13-3x1+1）-（x23-3x2+1）
=（x₁-x₂）（x12+x1x2+x22）+3（x₂-x₁）
=（x₁-x₂）（x12+x1x2+x22-3），
∵x₁，x₂∈[1，3]，x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x12+x1x2+x22-3＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在給定區間[1，3]上單調遞增．
故答案為：（2）[1，+∞）；（3）（-∞，1]．

點評：本題考查函數的單調性的判斷，解題時要認真審題，注意定義法的合理運用．