Question

【題目】已知四棱錐中，平面，底面為菱形，，E是中點，M是的中點，F是上的動點.

（1）求證：平面平面；

（2）直線與平面所成角的正切值為，當F是中點時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，推導出，，，由此能證明平面平面．

（2）以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）連接，

底面為菱形，，是正三角形；

是中點，，

又，，

平面，平面，，

又，平面，

又平面，平面平面．

（2）由（1）得，，，兩兩垂直，

以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

平面，就是與平面所成的角，

在中，，即，

設，則，得，

又，設，則，

，從而，

則,

,，，，

設是平面的一個法向量，

則，取，得，

又平面，是平面的一個法向量，

設二面角的平面角為．

則．

二面角的余弦值為．