Question

【題目】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=CD=DD1=2AB=2． （Ⅰ） 求證：AD1⊥B1C；
（Ⅱ） 求二面角A1﹣BD﹣C1的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系D﹣xyz，
則A（2，0，0），A1（2，0，2），B（2，1，0），B1（2，1，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），D1（0，0，2），
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴AD1⊥B1C．
解：（Ⅱ） D（0，0，0）， =（2，1，0）， =（2，0，2）， =（0，2，2），
設平面A1BD的法向量為 ，
則由 ，得 ，
取x1=1，得 ；
設平面C1BD的法向量為 ，
則由 ，得 ，
取x2=1，得 ，
設二面角A1﹣BD﹣C1的平面角為θ，
則 ，∴ ．，
∴二面角A1﹣BD﹣C1的正弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系D﹣xyz，利用向量法能證明AD1⊥B1C．（2）求出平面A1BD的法向量和平面C1BD的法向量，由此利用向量法能求出二面角A1﹣BD﹣C1的正弦值．
【考點精析】通過靈活運用空間中直線與直線之間的位置關系，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點即可以解答此題．