Question

已知數列{a_n}的首項a₁=a，a_n=

1

2

a_n-1（n∈N^*，n≥2），若b_n=a_n-2（n∈N^*）
（I）問數列{b_n}是否構成等比數列？并說明理由．
（II）若已知a₁=1，設數列{a_n•b_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（I）利用b_n=a_n-2代入a_n=

1

2

a_n-1，整理得bn=

1

2

bn-1，進而可知當a≠2時，數列b_n構成等比數列；當a=2時，數列b_n不構成等比數列．
（II）利用等比數列的通項公式求得b_n，進而根據b_n=a_n-2求得a_n，則數列{a_n•b_n}的通項公式可得，最后利用等比數列的求和公式求得答案．

解答：解：（I）b₁=a₁-2，a_n=b_n+2．
∴bn+2=

1

2

(bn-1+2)+1，bn=

1

2

bn-1
所以，當a≠2時，數列b_n構成等比數列；
當a=2時，數列b_n不構成等比數列．
（II）當a=1，得bn =-(

1

2

)n-1，an=2-(

1

2

)n-1，anbn=  (

1

4

)n-1-2(

1

2

)n-1，
所以sn=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

-2

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

4

3

(1-

1

4n

 )-4-(1-

1

2n

)=-

8

3

-

4

3

•

1

4n

+

4

2n

點評：本題主要考查了等比數列的性質，等比數列的通項公式和求和公式的運用．考查了學生綜合運用等比數列的基礎知識的能力．