Question

對任意的正整數n，猜測：2^n-1與（n+1）²的大小．寫出你的結論．并用數學歸納法加以證明．

Answer 1

分析：對n=1，2，3，4，…取值驗證或借助于函數y=2^x與y=x²的圖象，找出最小的正整數m等于6，再按照數學歸納法的步驟進行證明．

解答：解：當n=1時2^n-1＜（n+1）²
當n=2時，2^2-1=2＜（2+1）²
當n=3時，2^3-1=4＜（3+1）²
當n=4時2^4-1＜（4+1）²
當n=5時2^5-1＜（5+1）²
當n=6時  2^6-1＜（6+1）²
當n=7時  2^7-1=（7+1）²
當n=8時  2^8-1＞8+1）²
…
猜想當n≥8，2^n-1＞（n+1）² 恒成立．
數學歸納法證明：
（1）當n=8時，2^8-1=128，（8+1）²=81，128＞81，2^n-1＞（n+1）² 成立
（2）假設當n=k（k≥8）時不等式成立，即有2^k-1＞（k+1）²
則當n=k+1時，2^（k+1）-1=2^k=2•2^k-1＞2•（k+1）²=k²+[（k+2）²-2]＞（k+2）²  （∵k²-2＞0）
=[（k+1）+1]²，即是說 當n=k+1時不等式也成立．
由（1）（2）可知當n≥8，時2^n-1＞（n+1）² 恒成立．

點評：本題考查猜想、證明的推理方法，考查數學歸納法證明命題．注意證明的步驟的應用．