Question

已知函數(shù)f(x)＝，x∈(1，＋∞)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）a≤1時，f(x)的減區(qū)間為(1，＋∞)；a>1時，f(x)的增區(qū)間為(1,2a－1)，f(x)的減區(qū)間為(2a－1，＋∞)．（2）當(dāng)a≥2時，f(x)有最小值2－a；當(dāng)a<2時，f(x)沒有最小值．

(1)f′(x)＝，x∈(1，＋∞)．
由f′(x)＝0，得x₁＝1，或x₂＝2a－1.
①當(dāng)2a－1≤1，即a≤1時，在(1，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；
②當(dāng)2a－1>1，即a>1時，在(1,2a－1)上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，在(2a－1，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．
綜上所述，a≤1時，f(x)的減區(qū)間為(1，＋∞)；a>1時，f(x)的增區(qū)間為(1,2a－1)，f(x)的減區(qū)間為(2a－1，＋∞)．
(2)①當(dāng)a≤1時，由(1)知f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，不存在最小值；
②當(dāng)a>1時，若2a－1≤2，即a≤時，f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，不存在最小值；
若2a－1>2，即a> 時，f(x)在[2,2a－1)上單調(diào)遞增，在(2a－1，＋∞)上單調(diào)遞減，因為f(2a－1)＝>0，且當(dāng)x>2a－1時，x－a>a－1>0，所以當(dāng)x≥2a－1時，f(x)>0.又因為f(2)＝2－a，所以當(dāng)2－a≤0，即a≥2時，f(x)有最小值2－a；當(dāng)2－a>0，即<a<2時，f(x)沒有最小值．
綜上所述：當(dāng)a≥2時，f(x)有最小值2－a；當(dāng)a<2時，f(x)沒有最小值．