Question

（本小題滿分14分）

       設函數f（x）=（x² +ax+a）e^-x，其中x∈R,a是實常數，e是自然對數的底數.

（1）確定a的值，使f（x）的極小值為0；

（2）證明：當且僅當a=5時，f（x）的極大值為5；

（3）討論關于x的方程的實數根的個數.

Answer 1

解：（Ⅰ）f ′（x）=（2x+a）e^-1-(x²+ax+a) e^-1

=- e^-1[x²+（a-2)x]

令f ′（x ）=0.解得x =0或x =2-a. ……………………………………………………1分

當a=2時，f ′（x）≤0，此時無極值；…………………………………………2分

當0＜2-a.即a＜2時，f ′（x）和f （x）的變化如下表1：

x	（-∞，0）	0	（0，2- a）	2- a	（2- a，+∞）
f ′（x）	-	0	+	0	-
f （x）	坨	極小值	坭	極大值	坨

此時應有f（0）=0，得a =0＜2,符合. ……………………………………………3分

③當0＞2-a，即a＞2時，f ′（x）和f （x）的變化如下表2：

x	（-∞，2- a）	2- a	（2- a，0）	0	（0，+∞）
f ′（x）	-	0	+	0	-
f （x）	坨	極小值	坭	極大值	坨

此時應有f（2- a）=0，即[（2- a）²+a（2- a）+a]e^a-2=0.

∵e^-2≠0. ∴（2- a）²+ a（2- a）+ a =0，得a =4＞2，符合……………………………4分

綜上，當a =0或a =4時，f （x）的極小值為0. …………………………………………5分

（Ⅱ）若a＜2，則由表1可知，應有f（2- a）=5.

即[（2- a）²+a（2- a）+a]e^a-2=5，∴（4- a） e^a-2=5. ……………………………………6分

設g（a）=（4- a）e^a-2，則g ′（a）=- e^a-2+（4- a）e^-2= e^-2（3-a）. …………………7分

由a＜2.故g ′（a）＞0.

∴當a＜2時，g（a）＜g（2）=2＜5，即f（2- a）=5，不可能成立；……………………8分

若a＞2，則由表2可知，應有f（0）=5，即a=5.

綜上所述，當且僅當a=5時，f （x）的極大值為5. ………………………………………9分

（Ⅲ）∵f （x）=(x²+ax+a)e^-1，f ′（x）=- e^-1[x²+(a-2)x]

………………………………10分

…………………………………11分

由漬 ′（x）＞0，得x＞1；

由漬 ′（x）＜0，得x＜1，且x≠0.

從而漬 （x）在區間（-∞，0），（0，1）內單調遞減；

在區間（1，+∞）內單調遞增.………………………………………………………………12分

結合函數取值情況，畫出如右圖所示的草圖.

可得當a＜0或a=e時，原方程只有一個實數根；

當0≤a＜e時，原方程沒有實數根；

當a＞e時，原方程有兩個實數根. …………………14分

（Ⅲ）解法二：∵f （x）=(x²+ax+a)e^-1，f ′（x）=- e^-1[x²+(a-2)x]

……………………………………………………………10分

即ax= e^-1（x≠0）.

考查函數y=ax與y= e²交點個數.如圖，可得…………11分

當a＜0時，有一個交點；

當a=0時，沒有交點. …………………………………12分

當a＞0時，若y=ax與y= e²相切，設切點為（x _a ，y _a），

對y= e^x求導，得y′= e′，則a=（e^x）′.

又

∴當a=e時，有一個交點；

當a＞e時，有兩個交點. ……………………………………………………………………13分

綜上可知：當a＜0或a=e時，原方程只有一個實數根；

當0≤a＜e時，原方程沒有實數根；

當a＞e時，原方程有兩個實數根. ……………………………………………14分

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