Question

【題目】我國南北朝時間著名數學家祖暅提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是：夾在兩平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平面所載，若截得的兩個截面面積總相等，則這兩個幾何體的體積相等.為計算球的體積，構造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，然后再圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，運用祖暅原理可證明此幾何體與半球體積相等（任何一個平面所載的兩個截面面積都相等）.將橢圓 繞 軸旋轉一周后得一橄欖狀的幾何體，類比上述方法，運用祖暅原理可求得其體積等于（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：首先類比球的體積的求解方法構造出幾何體，然后利用祖暅原理求解該幾何體的體積即可.

詳解：如圖所示，橢圓的長半軸為4，短半軸為3.

現構造一個底面半徑為3，高為4的圓柱，

然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，

圓柱上底面為底面的圓錐，當截面距離下底面的高度為h時，

設橄欖狀的幾何體對應的截面平徑為R，圓柱對應截面的小圓半徑為r，

則由可得，

則橄欖狀的幾何體對應的截面面積.

由相似可得：，即，

圓柱對應的截面的面積，

則，由祖暅原理可得幾何體的體積為：

.

本題選擇C選項.