Question

（2012•宿州三模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0），并且經過點P（1，

3

2

）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知圓O：x²+y²=r²（b＜r＜a），若直線l與橢圓C只有一個公共點M，且直線l與圓O相切于點N；求|MN|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，a²-b²=1，將點P（1，

3

2

）代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得：

1

a2

+

9 4

b2

=1，由此可得C的方程；
（Ⅱ）直線l的斜率顯然存在，設直線l的方程為y=kx+t，由直線l與圓O相切，得t²=（1+k²）r²，由直線方程代入橢圓方程，利用直線l與橢圓C相切，可得xM=-

4k

t

，進而根據ON⊥MN，可得|MN|²=|OM|²-|ON|²=

4k2

3+4k2

+3-r2，利用基本不等式，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）依題意，a²-b²=1①，將點P（1，

3

2

）代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得：

1

a2

+

9 4

b2

=1②
由①②解得a²=4，b²=3，故C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）直線l的斜率顯然存在，設直線l的方程為y=kx+t，
由直線l與圓O相切，得r=

|t|

1+k2

，∴t²=（1+k²）r²①…（7分）
由直線方程代入橢圓方程，消去y可得（3+4k²）x²+8ktx+4t²-12=0  （*），
因為直線l與橢圓C相切，所以△=（8kt）²-4（3+4k²）（4t²-12）=0，得t²=3+4k²②，將②代入（*）式，
解得xM=-

4k

t

．…（9分）
由ON⊥MN，可得|MN|²=|OM|²-|ON|²=

4k2

3+4k2

+3-r2③，…（11分）
由①②可得k2=

r2-3

4-r2

④，將④代入③得|MN|²=7-r²-

12

r2

≤7-4

3

，
當且僅當r²=2

3

∈(3，4)時取等號，所以|MN|≤2-

3

所以|MN|的最大值為2-

3

…（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查基本不等式的運用，確定方程，正確運用基本不等式是關鍵，屬于中檔題．