Question

設(shè)函數(shù)
（1）若時(shí)，函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）若函數(shù)在內(nèi)沒有極值點(diǎn)，求的取值范圍；
（3）若對(duì)任意的，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）時(shí)，，有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，即有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值，從而確定的取值范圍；
（2）要使函數(shù)在內(nèi)沒有極值點(diǎn)，只需在上沒有實(shí)根即可，即的兩根或不在區(qū)間上；
（3）求導(dǎo)函數(shù)來確定極值點(diǎn)，利用的取值范圍，求出在上的最大值，再求滿足時(shí)的取值范圍．
（1）當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054254028447.png" style="vertical-align:middle;" />有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，所以，即有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根.
令，則.
令，解得；令，解得或.
所以在和上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).
所以，.
所以的取值范圍是.
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240542539971113.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054254028447.png" style="vertical-align:middle;" />在內(nèi)沒有極值點(diǎn)，所以方程在區(qū)間上沒有實(shí)數(shù)根，
由，二次函數(shù)對(duì)稱軸，
當(dāng)時(shí)，即，解得或，
所以，或（不合題意，舍去），解得.
所以的取值范圍是；
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054255152903.png" style="vertical-align:middle;" />，所以或，且時(shí)，，.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054254169522.png" style="vertical-align:middle;" />，所以在上小于0，是減函數(shù)；
在上大于0，是增函數(shù)；
所以，而，
所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054254153516.png" style="vertical-align:middle;" />在上恒成立，所以，即，即，在上恒成立.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054255869584.png" style="vertical-align:middle;" />在上是減函數(shù)，最小值為-87.
所以，即的取值范圍是.