Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以BD的中點O為球心、BD為直徑的球面交PD于點M．
（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直線PC與平面ABM所成的角的正弦值；
（3）求點O到平面ABM的距離．

Answer 1

分析：（1）利用線面、面面垂直的判定定理、性質定理即可證明；
（2）通過建立空間直角坐標系，先求出平面ABM的法向量，進而即可求出線面角；
（3）利用平面的法向量和斜向量的夾角即可求出．

解答：解：（1）證明：由題意，M在以BD為直徑的球面上，則BM⊥PD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，
∵BM∩AB=B，
∴PD⊥平面ABM，又PD?平面PCD，
∴平面ABM⊥平面PCD．
（2）由（1）可知：PD⊥平面ABM，∴PD⊥AM，又在Rt△PAD，PA=AD，∴PM=MD．
如圖所示，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2），
由（1）可知：

PD

是平面ABM的一個法向量

PD

=（0，4，-4），
又

PC

=（2，4，-4），
設PC與平面ABM所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

PD

，

PC

＞|=

| PD • PC |

| PD | | PC |

=

32

32 × 36

=

2 2

3

．
（3）設所求距離為d，由O(1，2，0)，

AO

=(1，2，0)，
∴d=

| PD • AO |

| PD |

=

8

42+42

=

2

．

點評：熟練掌握線面、面面垂直的判定定理、性質定理及通過建立空間直角坐標系利用平面的法向量與斜向量求出線面角、點到平面的距離是解題的關鍵..