Question

在平面直角坐標系xOy中，F是拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點，M是拋物線C上位于第一象限內的任意一點，過M，F，O三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線C的準線的距離為。

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）若點M的橫坐標為，直線l：y=kx+與拋物線C有兩個不同的交點A，B，l與圓Q有兩個不同的交點D，E，求當≤k≤2時，的最小值。

Answer 1

解析：（Ⅰ）F拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點F，設M，，由題意可知，則點Q到拋物線C的準線的距離為，解得，于是拋物線C的方程為.

（Ⅱ）假設存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M，

而，，，

，，

由可得，，則，

即，解得，點M的坐標為.

（Ⅲ）若點M的橫坐標為，則點M，。

由可得，設，

圓，

，

于是，令

，

設，，

當時，，

即當時.

故當時，.