Question

【題目】已知平面內一動點與兩定點和連線的斜率之積等于.

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設直線： （）與軌跡交于、兩點，線段的垂直平分線交軸于點，當變化時，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）設點的坐標列式，即可求橢圓E的方程；

（2）首先設A（x1，y1），B（x2，y2），將直線y=x+m代入橢圓方程根據韋達定理與判別式求出x1+x2、x1x2和m2的范圍，進而求出|AB|，設AB中點，求出和的坐標即可得到到的距離，可得，可求出三角形面積的最大值.

試題解析：（Ⅰ）設的坐標為，

依題意得，

化簡得軌跡的方程為（）.

（Ⅱ）設， ，

聯立方程組化簡得： ,

有兩個不同的交點，

由根與系數的關系得， ，

，即且.

設、中點為， 點橫坐標， ，

，

線段的垂直平分線方程為.

點坐標為.

到的距離，

由弦長公式得 ，

，

當且僅當即 時等號成立，

.

點晴:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系. 直線和圓錐曲線的位置關系一方面要體現方程思想，另一方面要結合已知條件，從圖形角度求解．聯立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數的關系求解是一個常用的方法. 涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數關系、設而不求法計算弦長；涉及垂直關系時也往往利用根與系數關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．