Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，底面，，，點為棱的中點，點分別為棱上的動點(與所在棱的端點不重合），且滿足．

（1）證明：平面平面;

（2）當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接AC交BD于N，連接MN，證明MN∥PA，AC⊥MN得到AC⊥平面MBD，再根據EF∥AC得到證明.

（2）設BE＝BF＝x，由，得到E，F分別為棱AB，BC的中點時體積最大，以A為坐標原點，分別以AF，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，計算平面MEF和平面MEC的法向量，計算向量夾角得到答案.

（1）連接AC交BD于N，連接MN，

∵底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD，AN＝NC，又∵PM＝MC，∴MN∥PA，

由PA⊥底面ABCD知，MN⊥底面ABCD，又AC底面ABCD，∴AC⊥MN，

又BD∩MN＝N，BD，MN平面MBD，∴AC⊥平面MBD，

在△ABC中，∵BE＝BF，BA＝BC，∴，即EF∥AC，

∴EF⊥平面MBD，又EF平面PEF，∴平面PEF⊥平面MBD；

（2）設BE＝BF＝x，由題意，又PA＝4，

∴，當x＝2時，三棱錐F﹣PEC的體積最大．

即此時E，F分別為棱AB，BC的中點．

以A為坐標原點，分別以AF，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則C（，2，0），F（2，0，0），E（，，0），M（，1，2），

，，，

設，

取＝1，得：，

設為平面MEC的一個法向量，則，

取＝1，得：，則，

由圖知所求二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．