Question

【題目】甲、乙兩支球隊進行總決賽，比賽采用七場四勝制，即若有一隊先勝四場，則此隊為總冠軍，比賽就此結束.因兩隊實力相當，每場比賽兩隊獲勝的可能性均為.據以往資料統計，第一場比賽可獲得門票收入40萬元，以后每場比賽門票收入比上一場增加10萬元.

(I)求總決賽中獲得門票總收入恰好為300萬元的概率；

(II)設總決賽中獲得門票總收入為X，求X的均值E(X).

Answer 1

【答案】(1) ；(2)377.5萬元.

【解析】試題分析：

(1)由題意結合等差數列的性質可得總決賽共比賽了5場，結合二項分布公式可得總決賽中獲得門票總收入恰好為300萬元的概率是；

(2)由題意可知隨機變量X可取的值為220，300，390，490.結合隨機變量的值求得概率值，然后求解均值可得E(X)=377.5萬元.

試題解析：

(1)依題意，每場比賽獲得的門票收入組成首項為40，公差為10的等差數列.

設此數列為{an}，則易知a1＝40，an＝10n＋30，

所以Sn＝＝300.

解得n＝5或n＝－12(舍去)，所以總決賽共比賽了5場

則前4場比賽的比分必為1∶3，且第5場比賽為領先的球隊獲勝，其概率為.

所以總決賽中獲得門票總收入恰好為300萬元的概率為.

(2)隨機變量X可取的值為S4，S5，S6，S7，即220，300，390，490.

,

,

,

,

所以X的分布列為

X	220	300	390	490
P

所以X的均值為E(X)＝220×＋300×＋390×＋490×＝377.5(萬元).