Question

設x₁，x₂（x₁≠x₂）是函數f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函f（x）的解析式；
（2）若|x₁|+|x₂|=2

2

，求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因為x₁、x₂是函數f（x）的兩個極值點，而x₁=-1，x₂=2所以得到f′（-1）=0，f′（2）=0代入求出a、b即可得到函數解析式；
（2）因為x₁、x₂是導函數f′（x）=0的兩個根，利用根與系數的關系對已知進行變形得到a和b的等式，求出b的范圍，設h（a）=3a²（6-a），求出其導函數，利用導數研究函數的增減性得到h（a）=的極大值，開方可得b的最大值．

解答：解：（1）f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）．
∵x₁=-1，x₂=2是函數f（x）的兩個極值點，
∴f'（-1）=0，f'（2）=0．
∴3a-2b-a²=0，12a+4b-a²=0，
解得a=6，b=-9．
∴f（x）=6x³-9x²-36x…（4分）
（2）∵x₁，x₂是函數f（x）的兩個極值點，
∴f'（x₁）=f'（x₂）=0．
∴x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根．
∴x1+x2=-

2b

3a

，x1•x2=-

a

3

，
∵△=4b²+12a³，
∴△＞0對一切a＞0，b∈R恒成立．
∵a＞0，∴x₁•x₂＜0．
∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=

(- 2b 3a )2-4(- a 3 )

=

4b2 9a2 + 4 3 a

．
由|x1|+|x2|=2

2

得

4b2 9a2 + 4 3 a

=2

2

，
∴b²=3a²（6-a）．
∵b²≥0，
∴3a²（6-a）≥0，
∴0＜a≤6…（8分）
令h（a）=3a²（6-a），則h'（a）=-9a²+36a．
當0＜a＜4時，h′（a）＞0，∴h（a）在（0，4）內是增函數；
當4＜a＜6時，h′（a）＜0，∴h（a）在（4，6）內是減函數．
∴當a=4時，h（a）有極大值為96，
∴h（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值是4

6

…（12分）

點評：本題以函數為載體，考查學生會用待定系數法求函數解析式，考查利用導數研究函數的極值，解題的關鍵是正確理解極值的含義．