Question

已知函數的圖象過原點，f（x）=F′（x），g（x）=f′（x），f（1）=0，函數y=f（x）與y=g（x）的圖象交于不同的兩點A、B．
（Ⅰ）若y=F（x）在x=-1處取得極大值2，求函數y=F（x）的單調區間；
（Ⅱ）若使g（x）=0的x值滿足，求線段AB在x軸上的射影長的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求F（x）的解析式，只需得到含兩個a，b的等式，根據函數F（x）在x=-1處有極大值，可知，函數在x=-1處導數等于0，根據極大值為2，可知，x=-1時，函數值等于7，這樣，就可求出a，b．對函數求導，再令導數大于0，解出x的范圍，為函數的增區間，令導數小于0，解出x的范圍，為函數的減區間．
（Ⅱ）由題意，f（x）=ax²-2bx+c=ax²-（a+c）x+c，，g（x）=2ax-2b=2ax-（a+c），聯立可得ax²-（3a+c）x+a+2c=0，利用韋達定理，可求線段AB在x軸上的射影長．從而可求線段AB在x軸上的射影長的取值范圍．
解答：解：∵F（x）的圖象過原點，∴d=0．
又f（x）=F'（x）=ax²-2bx+c，f（1）=0，，∴a+c=2b．…①…（2分）
（Ⅰ）由y=F（x）在x=-1處取得極大值2知：f（-1）=a+2b+c=0，…②
，…③…（4分）
由①②③得解：a=3，b=0，c=-3，
∴F（x）=x³-3x．…（5分）
由f（x）=3x²-3≥0，得x≥1或x≤-1；由f（x）=3x²-3≤0，得-1≤x≤1．
∴F（x）的單調遞減區間為[-1，1]，單調遞增區間為（-∞，-1]和[1，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）f（x）=ax²-2bx+c=ax²-（a+c）x+c，，g（x）=2ax-2b=2ax-（a+c），
由，得ax²-（3a+c）x+a+2c=0．…（8分）
設A，
∴線段AB在x軸上的射影長．…（9分）
由．…（（10分）
∴當，
∴．…（12分）
點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查函數的極值，考查曲線相交，有一定的綜合性．