Question

已知向量

m

=（a，cos2x），

n

=（1+sin2x，

3

），x∈R，記f（x）=

m

•

n

．若y=f（x）的圖象經過點（

π

4

，2 ）．
（1）求實數a的值；
（2）設x∈[-

π

4

，

π

4

]，求f（x）的最大值和最小值；
（3）將y=f（x）的圖象向右平移

π

12

，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到y=g（x）的圖象，求y=g（x）的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）表示出函數f（x）后將點代入即可求出a的值．
（2）將a的值代入函數f（x），由x的取值區間可求出最值．
（3）先將函數f（x）平移變換得到函數g（x），再求其單調區間．

解答：解：（1）∵f（x）=

m

•

n

=a（1+sin2x）+

3

cos2x 經過點（

π

4

，2 ）．
∴f（

π

4

）=2∴a=1；
（2）∵a=1∴f（x）=sin2x+

3

cos2x+1=2sin（2x+

π

3

）+1
∵x∈[-

π

4

，

π

4

]∴2x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴f（x）_min=0，f（x）_max=3
（3）∵將y=f（x）的圖象向右平移

π

12

可得 y=2sin（2x-

π

6

）+1
將y=f（x）的圖象橫坐標伸長到原來的4倍可得：y=2sin（

1

2

x-

π

6

）+1
令

π

2

+2kπ≤

1

2

x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ可求出4kπ+

4π

3

≤x≤4kπ+

10π

3

故函數g（x）的單調遞減區間為：[4kπ+

4π

3

，4kπ+

10π

3

](k∈Z)

點評：本題主要考查三角函數的最值和單調區間．求三角函數的單調區間和最值時要注意整體思想．