Question

已知直線y=-2上有一個動點Q，過Q作直線l垂直于x軸，動點P在直線l上，且，記P點的軌跡為C₁．

（1）求曲線C₁的方程；

（2）設直線l與x軸交于點A，且．試判斷直線PB與曲線C₁的位置關系，并證明你的結論；

（3）已知圓C₂：x²+(y-a)²=2，若C₁，C₂在交點處的切線互相垂直，求a的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）設點P的坐標為(x，y)．則Q的坐標為(x，-2) ∵     ∴ =0 ∴ x2-2y=0    ∴ 點P的軌跡方程為x2=2y． （2）直線PB與曲線C1相切，設點P的坐標為(x0，y0)．∴ 點A的坐標為(x0，0)． ∵ ，∴ =(0，-y0)，∴ 點B的坐標為(0，-y0) ∵ ，直線PB的斜率k=    ∵ =2y0，∴ k=x0 ∴ 直線PB的方程為y=x0x-y0，代入x2=2y，得x2-2x0x+2y0=0． ∵ D=4-8y0=0    ∴ 直線PB與曲線C1相切． （3）不妨設C1，C2的一個交點為N(x1，y1)，C1的解析式即為y=，則C1在N點處切線的斜率為y¢=x1，圓C2過N點的半徑的斜率為k=, ∵ C1在交點處的切互相垂直，x1=．  ① 又∵ 點N(x1，y1)在C1上，所以  ②    由①②得y=-a，=-2a ∵ 點N(x1，y1)在圓C2上，∴ -2a+4a2=2 ∵ y1=0，∴ a<0 ∴ a=