Question

（2009•孝感模擬）命題p：方程2x²+mx-2m²-5m-3=0有一正根一負(fù)根；
命題q：函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+

4

3

)x+6在R上有極值；
若命題“p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)命題“p或q”為真命題，而命題“p且q”為假命題，我們易判斷命題p與命題q一真一假，再由命題p：方程2x²+mx-2m²-5m-3=0有一正根一負(fù)根；命題q：函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+

4

3

)x+6在R上有極值．我們根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）及二次函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法，得到命題p與命題q對(duì)應(yīng)的參數(shù)a的取值范圍，分類討論后，即可得到答案．

解答：解：對(duì)命題p，令f（x）=2x²+mx-2m²-5m-3，則f（0）＜0，即2m²+5m+3＞0，解得m＜-

3

2

或m＞-1； （4分）
當(dāng)命題q為真時(shí)：f′(x)=3x2+2mx+(m+

4

3

)△=4m2-12(m+

4

3

)＞0（6分）∴m²-3m-4＞0
故m＞4或m＜-1                                                     （8分）
當(dāng)命題p或q為真，p且q為假，即p與q有且僅有一個(gè)成立∴

m＞-1或m＜- 3 2 -1≤m≤4

或

- 3 2 ≤m≤-1 m＜-1或m＞4

（10分）
∴m∈[-

3

2

，-1)∪(-1，4]．（12分）

點(diǎn)評(píng)：掌握簡(jiǎn)易邏輯的有關(guān)知識(shí)，學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，理解二次方程與二次函數(shù)之間的關(guān)系，一元二次方程有一正根和一負(fù)根的充要條件是二次函數(shù)的圖象與y軸相交于負(fù)半軸；而二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)的充要條件是二次方程有根，即△≥0．