Question

已知函數f（x）=-cos²x-2asinx+6（a∈R）的最小值是2，求實數a的值．

Answer 1

分析：化簡f（x）的解析式為（sinx-a）²+5-a² ，令 sinx=t，則t∈[-1，1]，f（t）=（t-a）²+5-a²，t∈[-1，1]．分a≤-1、-1＜a＜1、a≥1三種情況，分別利用單調性以及最小值是2
求出實數a的值．

解答：解：∵f（x）=-cos²x-2asinx+6=sin²x-2asinx+5=（sinx-a）²+5-a² ，令 sinx=t，則t∈[-1，1]，
∴原函數化為f（t）=（t-a）²+5-a²，t∈[-1，1]．…（3分）
∴當a≤-1時，函數f（t）在[-1，1]上單調遞增，所以f（t）_min=f（-1）=6+2a=2，故a=-2．…（6分）
當-1＜a＜1時，函數f（t）在[-1，a]上單調遞減，在[a，1]上單調遞增，
所以，f(t)min=f(a)=5-a2=2，解得a=±

3

，（舍去）   …（9分）
當a≥1時，函數f（t）在[-1，1]上單調遞增減，所以f（t）_min=f（1）=6-2a=2，∴a=2．…（12分）
綜上可知：實數a的值為2或-2．…（13分）

點評：本題主要考查二次函數的性質，正弦函數的值域，符合三角函數的單調性，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．