Question

如圖2-15,PA為⊙O的切線,A為切點,PBC是過O點的割線,PA =10,PB =5,∠BAC的平分線與BC和⊙O分別相交于D和E,

圖2-15

求:(1)⊙O的半徑;

(2)sin∠BAP的值;

(3)AD·AE的值.

Answer 1

思路分析:(1)由PA²=PB·PC求出PC,從而求出半徑.?

(2)先把∠BAP轉換到直角三角形中,利用∠BAP =∠ACB轉換.?

(3)直接求AD·AE較難,用相似三角形轉換成其他線段之積.

解:(1)∵PA²=PB·PC,PA =10,PB =5,?

∴PC=20,即BC=15.∴⊙O的半徑為7.5.?

(2)在△PBA和△PAC中,PA為切線,?

∴∠BAP=∠ACP.?

又∵∠P =∠P,∴△PBA∽△PAC.?

∴=.∴=.?

又∵AB為直徑,∴∠BAC =90°.?

設AB =x,則CA =2x,∴.?

∴sin∠ACB = = =.?

又∵∠ACB =∠BAP,∴sin∠BAP =.?

(3)連結CE,易證得△ACE∽△ADB,?

∴=,?

即AD·AE =AB·AC.?

由(2)得=,?

∵BC =15,∴AB =×15 =.?

∴AC =2AB =.?

∴AD·AE =×=90.