Question

（本小題滿分13分）已知函數
（I）當0< a < b，且f（a） = f（b）時，求的值；
（II）若存在實數a，b（a<b），使得函數y=f（x）的定義域為 [a，b]時，值域為 [ma，mb]（m≠0）．求m的取值范圍．

Answer 1

（1）
（2）

解：（I）∵
∴f（x）在（0，1）上為減函數，在上是增函數．
由0<a<b，且f（a）=f（b），可得 0<a1<b且．所以．
（II）若存在實數a，b（a<b），使得函數y=f（x）的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]．
則a>0，m>0．
當時，由于f（x）在（0，1）上是減函數，故．
此時得a,b異號，不符合題意，所以a，b不存在．
當　時，易知0在值域內，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．　故只有．                 ∵在上是增函數，
∴       即   a、b是方程的兩個根．
即關于x的方程有兩個大于1的實根．設這兩個根為，．
則+=，·=．
∴      即 解得  ．