Question

是否存在函數f（x），使下列三個條件：①f（x）＞0，x∈N；②f（a+b）=f（a）•f（b），a，b∈N；③f（2）=4．同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：由題設f（a+b）=f（a）•f（b）且f（x）＞0對x∈N成立，聯想到指數函數f（x）=c^x，再結合f（2）=4可得c=2．故猜測存在函數數f（x）=2^x，最后采用數學歸納法加以證明．
解答：解：∵f（x）＞0，x∈N且f（a+b）=f（a）•f（b），a，b∈N
∴可設f（x）=c^x（c＞0，c≠1，x∈N），滿足c^x＞0且c^a+b=c^a•c^b
∵f（2）=4
∴c²=4⇒c=2（舍負）
所以存在f（x）=2^x，符合題設的三個條件．
以下用數學歸納法證明，對任意的x∈N時，都有f（x）=2^x成立．
（1）當x=1時，f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=[f（1）]²=4，
又∵x∈N時，f（x）＞0，
∴f（1）=2=2¹，結論正確．
（2）假設x=k（k∈N^*）時，有f（k）=2^k，
則x=k+1時，f（k+1）=f（k）•f（1）=2^k•2=2^k+1，
∴x=k+1時，結論正確．
綜上所述，對于一切自然數x，都有f（x）=2^x成立．
點評：本題考查了根據抽象函數求函數的解析式的知識點，屬于中檔題，著重考查了指數函數的性質和數學歸納法證明的思路．