Question

       已知圓O：x²＋y²＝1，圓C：（x－4）²＋（y－4）²＝1，由兩圓外一點P（a,b）引兩圓切線PA、PB，切點分別為A、B，如圖，滿足|PA|＝|PB|；

       （Ⅰ）將兩圓方程相減可得一直線方程l：x＋y－4=0，該直線叫做這兩圓的“根軸”，試證點P落在根軸上；

       （Ⅱ）求切線長|PA|的最小值；

（Ⅲ）給出定點M（0,2），設P、Q分別為直線l和圓O上動點，求|MP|＋|PQ|的最小值及此時點P的坐標．

Answer 1

⑴

       即點P（a,b）落在根軸l：x＋y－4=0上；    ……………………  3分

    ⑵

    ∴當a=2時即P為（2,2）點時有    …………………  6分

⑶ 作M（0,2）關于直線L: x＋y=4的對稱點N,求得N（2,4），連接NO則NO分別與直線L、圓O的交點即為使|PM|＋|PQ|的值最小的點P、Q； …………………  8分

       證明如下：

       在L上任取不同于點P的P₁點，

       連接P₁O交圓O于Q₁，則

       |P₁M|＋|P₁Q₁|=|P₁M|＋|P₁O|-1=|P₁N|＋|P₁O|-1＞|NO|-1

       而|PM|＋|PQ|=|PM|＋|PO|-1=|PN|＋|PO|-1=|NO|-1 ,

       故得證；  …………… 11分

       下求|PM|＋|PQ|的最小值及點P的坐標：

       （|PM|＋|PQ|）_Min=|NO|-1=

       聯立ON與直線L的方程可得 …… 13分