Question

已知函數f（x）=ln（x+a），g（x）=

1

6

x³+b，直線l：y=x與y=f（x）相切，
（1）求a的值
（2）若方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且僅有兩個解x₁，x₂求b的取值范圍，并比較x₁x₂+1與x₁+x₂的大小．（3）設n≥2時，n∈N^*，求證：

ln2

2!

+

ln3

3!

+…+

lnn

n!

＜1．

Answer 1

分析：（1）考查導數的幾何意義，方程思想解決
（2）考查構建函數，利用導數求函數范圍，利用圖象數形結合列式求解
（3）考查利用導數證明不等式，構建函數能力

解答：解：（1）設切（x₀，y₀），y₀=x₀，f′(x0)=

1

x+a

，k= f′(x0)  =

1

x0+a

=1
∴x₀+a=1，且y₀=ln（x₀+a）=0，∴x₀=0，a=1（3分）
（2）ln（x+a）=

1

6

x3 +b，得

1

6

x3-ln(x+1)+b=0
令h（x）=

1

6

x3-ln(x+1)+b，h′(x)=

x2

2

-

1

x+1

=

x3+x2-2

2(x+1)

=

(x-1)(x2+2x+2)

2(x+1)

在（0，1）上h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）單調減
在（1，+∞）上，h′（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）單調增
∴0＜b＜-

1

6

+ln2，若h（x）圖在（0，+∞）內x軸有兩個不同的交點，則

h(0)=b＞0 h(1)= 1 6 +b-ln2＜0

，此時h（3）=

9

2

-2ln2+b＞0
所b的范圍為0＜b＜-

1

6

+ln2．（8分）
由上知，方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且僅有兩個x₁、x₂，滿足0＜x₁＜1，x₂＞1，
∴x₁x₂+1-（x₁+x₂）=（1-x₁）（1-x₂）＜0
∴x₁x₂+1＜（x₁+x₂）
（3）求導數可證f（x）≤x，即ln（x+1）≤x（10分）
故n≥2，n∈N^*時，lnn＜n-1
∴

lnn

n!

＜

n-1

n!

=

1

(n-1)!

-

1

n!

（12分）
∴

ln2

2!

+

ln3

3!

+…+

lnn

n!

＜(1-

1

2!

) +(

1

2!

-

1

3!

) +…+ (

1

(n-1)！

-

1

n!

)=1-

1

n!

＜1（13分）

點評：本題考查導數的綜合應用，對學生的能力要求較大，屬于難題