Question

已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為：，設(shè)向量，.
（1）分別求和的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集.

Answer 1

（1），；（2）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.

解析試題分析：（1）先由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算出，，然后根據(jù)正余弦函數(shù)的值域，即可得到和的取值范圍；（2）由（1）所求得的范圍，與題中條件二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為：，分、兩類考慮函數(shù)在的單調(diào)性，進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為、兩種情況進(jìn)行求解，最后結(jié)合所給的范圍與正余弦函數(shù)的性質(zhì)可得原不等式的解集.
試題解析：(1）依題意可得，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6f/c/4igei3.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，，所以，即，
（2）圖像關(guān)于對(duì)稱
當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增，由得到即即
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f4/f/1q9xg4.png" style="vertical-align:middle;" />
所以即
當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減
由得到即即
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f4/f/1q9xg4.png" style="vertical-align:middle;" />
所以或即或
綜上，當(dāng)時(shí)不等式的解集為；當(dāng)時(shí)不等式的解集為.
考點(diǎn)：1.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；2.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)；3.平面向量的數(shù)量積.