Question

已知函數f（x）=x³-3ax²+b（a∈R，b∈R）．
（I） 設a＞0，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ） 設a=-1，若方程f（x）=0在[-2，2]上有且僅有一個實數解，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區間為單調增區間，fˊ（x）＜0的區間為單調減區間．
（II）由函數零點的存在定理，我們可以將區間[-2，2]分為區間（-2，0）和（0，2）兩種情況進行分類討論，最后綜合討論結果，即可得到f（x）=0在區間[-2，2]有且僅有一個實數解，則實數b的取值范圍可得

解答：解：（ I）f'（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），…（2分）
因為a＞0，所以2a＞0
當x變化時，f（x），f'（x）的變化情況如下表：

當x＞2a或x＜0時，f'（x）＞0；當0＜x＜2a時，f'（x）＜0．
所以，當a＞0時，函數f（x）的單調遞增區間是（-∞，0）和（2a，+∞），
單調遞減區間是（0，2a）．…（6分）
（ II）f（x）=x³+3x²+b，f'（x）=3x²+6x=3x（x+2），x∈[-2，2]
當x變化時，f（x），f'（x）的變化情況如下表：

x	-2	（-2，0）	0	（0，2）	2
f'（x）		-	0	+
f（x）	b+4	遞減	極小值b	遞增	b+20

…（8分）
因為方程f（x）=0在區間[-2，2]有且僅有一個實數解，而b+4＜b+20，
所以b=0，…（10分）
或

b+4＜0 b+20≥0.

所以方程f（x）=0在區間[-2，2]有且僅有一個實數解時，b的取值范圍是b=0或-20≤b＜-4．…（12分）

點評：本題考查了函數的單調性、利用導數研究函數的極值，利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定函數的定義域；（2）求導數fˊ（x）；（3）在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數的單調區間．若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．