Question

【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中點． （Ⅰ）求證：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）設點N是直線CD上的動點，MN與面SAB所成的角為θ，求sinθ的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則 A（0，0，0），B（0，2，0），D（1，0，0，），S（0，0，2），M（0，1，1）．
則 ， ， ．
設平面SCD的法向量是 ，則 ，即
令z=1，則x=2，y=﹣1．于是 ．
∵ ，∴ ．
又∵AM平面SCD，∴AM∥平面SCD．
（Ⅱ）易知平面SAB的法向量為 ．設平面SCD與平面SAB所成的二面角為α，
則 = = ，即 ．
∴平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為 ．
（Ⅲ）設N（x，2x﹣2，0），則 ．
∴ = = = ．
當 ，即 時， ．

【解析】（Ⅰ）通過建立空間直角坐標系，利用平面SCD的法向量 即可證明AM∥平面SCD；（Ⅱ）分別求出平面SCD與平面SAB的法向量，利用法向量的夾角即可得出；（Ⅲ）利用線面角的夾角公式即可得出表達式，進而利用二次函數的單調性即可得出．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．