Question

【題目】已知函數y=f（x）的定義在實數集R上的奇函數，且當x∈（﹣∞，0）時，xf′（x）＜f（﹣x）（其中f′（x）是f（x）的導函數），若a= f（ ），b=（lg3）f（lg3），c=（log2 ）f（log2 ），則（ ）
A.c＞a＞b
B.c＞b＞a
C.a＞b＞c
D.a＞c＞b

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設F（x）=xf（x），得F'（x）=x'f（x）+xf'（x）=xf'（x）+f（x），
∵當x∈（﹣∞，0）時，xf′（x）＜f（﹣x），且f（﹣x）=﹣f（x）
∴當x∈（﹣∞，0）時，xf′（x）+f（x）＜0，即F'（x）＜0
由此可得F（x）=xf（x）在區間（﹣∞，0）上是減函數，
∵函數y=f（x）是定義在實數集R上的奇函數，
∴F（x）=xf（x）是定義在實數集R上的偶函數，在區間（0，+∞）上F（x）=xf（x）是增函數．
∵0＜lg3＜lg10=1， ∈（1，2）
∴F（2）＞F（ ）＞F（lg3）
∵ =﹣2，從而F（ ）=F（﹣2）=F（2）
∴F（ ）＞F（ ）＞F（lg3）
即 ＞ ＞（lg3）f（lg3），得c＞a＞b
所以答案是：A
【考點精析】本題主要考查了對數值大小的比較和導數的幾何意義的相關知識點，需要掌握幾個重要的對數恒等式:，，;常用對數：，即；自然對數：，即（其中…）；通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即才能正確解答此題．