Question

已知函數，.
（Ⅰ）已知，若，求的值；
（Ⅱ）設，當時，求在上的最小值；
（Ⅲ）求函數在區間上的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，最小值為；（Ⅲ）當時，在上的最大值為0；當時，在上的最大值為；當時，在上的最大值為.

試題分析：（Ⅰ）將函數去掉絕對值寫成分段函數形式，結合函數圖像滿足的只可能為，從而，，由即可得；（Ⅱ）寫出的表達式，根據分段函數的性質，先求出每一段上的最小值，其中最小的即為 的最小值；（Ⅲ）將寫成分段函數的形式，每一段均為二次函數的形式，結合二次函數圖像，分類討論函數的對稱軸與區間的關系，從而求出最大值.
試題解析：（Ⅰ）
由圖像可知，
即為，所以       3分
（Ⅱ），則，
當時，，即為，解得
當時，，即為，解得

當時，最小值為
（本問也可直接利用圖像說明理由求解）          6分
（Ⅲ）
①記，結合圖像可知，
當，即時，
當，即時，       8分
②記，結合圖像可知，
當，即時，
當，即時，
當，即時，
③記，結合圖像可知，
當，即時，
當，即時，       10分
由上討論可知：
當時，
當時，
當時，
當時，
當時，      15分
綜上所述：當時，在上的最大值為0
當時，在上的最大值為
當時，在上的最大值為.        16分