Question

關于函數f（x）=|sinx|+|cosx|，給出下列四個命題：
①

π

2

為f（x）的一個周期；       
②f（x）是奇函數；
③f（x）關于直線x=

3π

4

對稱；   
④當x∈[0，2π]時，f（x）∈[1，

2

]；
⑤當x∈[0，

π

2

]時，f（x）單調遞增．
其中正確的命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,三角函數的圖像與性質

分析：應用周期函數的定義即可判斷①；應用奇偶函數的定義即可判斷②；驗證f（

3π

2

-x）=f（x），即可判斷③；
將f（x）變形為f（x）=

1+|sin2x|

，由x的范圍即可判斷④；根據條件化簡f（x），求出x+

π

4

的范圍，即可判斷⑤．

解答： 解：①由于f（x+

π

2

）=|sin（x+

π

2

）|+|cos（x+

π

2

）|=|cosx|+|sinx|=f（x），故

π

2

為f（x）的一個周期，即①正確；
②由于f（-x）=|sin（-x）|+|cos（-x）|=|sinx|+|cosx|=f（x），故f（x）是偶函數，故②錯；
③由于f（

3π

2

-x）=|sin（

3π

2

-x）|+|cos（

3π

2

-x）|=|cosx|+|sinx|=f（x），故f（x）關于直線x=

3π

4

對稱，故③正確；
④當x∈[0，2π]時，f（x）=

1+2|sinxcosx|

=

1+|sin2x|

，x=

π

4

取最大值且為

2

，x=0時，取最小值1，故④正確；
⑤當x∈[0，

π

2

]時，f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），由于

π

4

≤x+

π

4

≤

3π

4

，不為單調區間，故⑤錯．
故答案為：①③④．

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查三角函數的圖象和性質，注意應用定義和性質解題．