Question

【題目】已知函數f（x）=4x﹣2x+1+3，當x∈[﹣2，1]時，f（x）的最大值為m，最小值為n，
（1）若角α的終邊經過點P（m，n），求sinα+cosα的值；
（2）g（x）=mcos（nx+）+n，求g（x）的最大值及自變量x的取值集合．

Answer 1

【答案】解：（1）∵函數f（x）=4x﹣2x+1+3=（2x）2﹣22x+3=（2x﹣1）2+2，
當x∈[﹣2，1]時，2x∈．
∴當2x=1，即x=0時，函數f（x）取得最小值2，即n=2．
又f（﹣2）=，f（1）=3．
∴f（x）的最大值為3，即m=3，
∴角α的終邊經過點P（3，2），
∴sinα==，cosα=．
∴sinα+cosα=．
（2）g（x）=mcos（nx+）+n=3cos．
當2x+=2kπ，解得x=kπ﹣（k∈Z）時，cos取得最大值1，g（x）取得最大值3．
此時x的取值集合為{x|x=kπ﹣（k∈Z）}．
【解析】（1）利用指數函數與二次函數的單調性可得m，n，再利用三角函數的定義即可得出；
（2）利用余弦函數的單調性即可得出．
【考點精析】掌握函數的最值及其幾何意義是解答本題的根本，需要知道利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．