Question

已知函數y＝f（x）的圖象是自原點出發的一條折線. 當n≤y≤n＋1（n＝0，1，2，…)時，該圖象是斜率為bⁿ的線段(其中正常數b≠1），設數列｛x_n｝由f（x_n）＝n（n＝1，2，…）定義

 

(Ⅰ)求x₁、x₂和x_n的表達式；

 

(Ⅱ)計算x_n；

 

(Ⅲ)求f（x）的表達式，并寫出其定義域.

Answer 1

(Ⅰ)解：依題意f（0）＝0，又由f（x₁）＝1，當0≤y≤1時，

函數y＝f（x）的圖象是斜率為b⁰＝1的線段，故由＝1得x₁＝1．

 

又由f（x₂）＝2，當1≤y≤2時，函數y＝f（x）的圖象是斜率為b的線段，

 

故由＝b，即x₂－x₁＝       得x₂＝1＋．

 

記x₀＝0．由函數y＝f（x）圖象中第n段線段的斜率為b^n－1，故得＝b^n－1．

 

又f（x_n）＝n，f（x^n－1）＝n－1；

∴x_n－x_n－1＝()^n－1，n＝1，2，…．

由此知數列｛x_n－x_n－1｝為等比數列，其首項為1，公比為．

 

因b≠1，得x_n＝＝1＋＋…＋＝，即x_n＝

 

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知x_n＝當b＞1時，=

 

當0＜b＜1時，n→∞，x_n也趨向于無窮大，limx_n不存在

 

(Ⅲ)解：由（Ⅰ）知：當0≤y≤1時，y＝x，即當0≤x≤1時，f（x）＝x；

 

當n≤y≤n＋1即x_n≤x_n＋1，由(Ⅰ)可知，

f（x）＝n＋b_n（x－x_n）(n＝1，2，3，…）

由(Ⅱ)知：當b＞1時，y＝f（x）的定義域為［0，).

當0＜b＜1時，y＝f（x）的定義域為［0，＋∞）．

圖1-30