Question

（2013•成都一模）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=a（x²-x）（a≠0，a∈R），h（x）=f（x）-g（x）．
（I）若關(guān)于X的不等式g（x）≤bx-2的解集為{x|-2≤x≤-1}，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（II）若?x＞3，f（x）≤g（x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（III）在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₀與直線AB的斜率k之間滿足k=h′（x₀）？若存在，求出x₀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）先化簡不等式g（x）≤bx-2，根據(jù)不等式g（x）≤bx-2的解集為{x|-2≤x≤-1}可知-2，-1是不等式所對應(yīng)方程的兩根，從而可求出實(shí)數(shù)a，b的值；
（II）恒成立求參數(shù)的問題常常利用參變量分離的方法，利用導(dǎo)數(shù)研究參變量另一側(cè)函數(shù)的最值，從而求出所求；
（III）假設(shè)存在，根據(jù)k=h′（x₀）建立等式，然后移到一邊利用換元法可證得式子恒大于0，從而說明不存在符合題意的兩點(diǎn)．

解答：解：（I）g（x）≤bx-2⇒ax²-（2a-b）x-2≥0，
∵解集為{x|-2≤x≤-1}，∴ax²-（2a-b）x-2=0的兩根為-2，-1，且a＜0，
∴

2a-b

a

=-3，

-2

a

=2
∴a=-1，b=-5．
（II）∵x＞3，∴a≤

ln(1+x)

2x-x2

=m（x），
m′（x）=

2x-x2-2(1-x2)ln(1+x)

(x+1)(2x-x2)2

，
令n（x）=2x-x²-2（1-x²）ln（1+x），
n′（x）=4x（1+x）＞0，且n（0）=0，
∴n（x）＞0⇒m′（x）＞0，∴m（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞增．
∴a≤m（3）=-

2

3

ln2，
∴a的取值范圍是（-∞，-

2

3

ln2]．
（III）假設(shè)存在，不妨設(shè)-1＜x₁＜x₂，
k=

h(x1)-h(x2)

x1-x2

=

ln(1+x1)+a(x12-2x1)-ln(1+x2)-a(x22-2x2)

x1-x2

=

ln 1+x1 1+x2

x1-x2

+a（x₁+x₂）-2a，
∵h(yuǎn)′（x₀）=

1

x0+1

+2ax0-2a，k=h′（x₀），
∴

ln 1+x1 1+x2

x1-x2

=

2

x1+x2+2

，
令t₁=1+x₁，t₂=1+x₂，
則

ln t1 t2

t1-t2

=

2

t1+t2

，
令t=

t1

t2

，u（t）=lnt-

2t-2

t+1

（0＜t＜1）
則u′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，∴u（t）在（0，1）上單調(diào)遞增．
∴u（t）＜u（1）=0，故k≠h′（x₀）．
∴不存在符合題意的兩點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)恒成立，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，也考查了換元法的應(yīng)用，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于難題．