Question

設函數.
（1）若x＝時，取得極值，求的值；
（2）若在其定義域內為增函數，求的取值范圍；
（3）設，當=－1時，證明在其定義域內恒成立，并證明（）．

Answer 1

（1）．（2）.    
（3）轉化成.所以.通過“放縮”，“裂項求和”。

試題分析：，
（1）因為時，取得極值，所以，
即   故．                       3分
（2）的定義域為，
要使在定義域內為增函數,
只需在內有恒成立,
即在恒成立，         5分
又         7分
，
因此，若在其定義域內為增函數，則的取值范圍是.     9分
（3）證明：，
當=－1時，，其定義域是，
令，得.
則在處取得極大值，也是最大值.
而.所以在上恒成立.因此.
因為，所以.
則.
所以
=<
==.
所以結論成立.                                 13分
點評：難題，利用導數研究函數的單調性、極值，是導數應用的基本問題，主要依據“在給定區間，導函數值非負，函數為增函數；導函數值非正，函數為減函數”。確定函數的極值，遵循“求導數，求駐點，研究單調性，求極值”。不等式恒成立問題，往往通過構造函數，研究函數的最值，使問題得到解決。本題不等式證明過程中，利用“放縮法”，轉化成易于求和的數列，體現解題的靈活性。