Question

設甲、乙兩人每次射擊命中目標的概率分別為

3

4

和

4

5

，且各次射擊相互獨立．
（Ⅰ）若甲、乙各射擊一次，求甲命中但乙未命中目標的概率；
（Ⅱ）若甲、乙各射擊兩次，求兩人命中目標的次數相等的概率．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是相互獨立事件的概率乘法公式和加法公式，
（Ⅰ）甲、乙各射擊一次，甲命中但乙未命中目標，分為兩步，由甲、乙兩人每次射擊命中目標的概率分別為

3

4

和

4

5

，我們易得甲命中但乙未命中目標的概率P(A•

.

B

)=P(A)•P(

.

B

)，代入計算即可得到結果；
（Ⅱ）甲、乙各射擊兩次，求兩人命中目標的次數相等，包括三種情況，即均不中，均中一次，均中兩次，則兩人命中次數相等的概率為
P（A₀B₀）+P（A₁B₁）+P（A₂B₂），代入計算即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）設A表示甲命中目標，B表示乙命中目標，
則A、B相互獨立，
且P（A）=

3

4

，P(B)=

4

5

，
從而甲命中但乙未命中目標的概率為
P(A•

.

B

)=P(A)•P(

.

B

)=

3

4

×(1-

4

5

)=

3

20

.
（Ⅱ）設A₁表示甲在兩次射擊中恰好命中k次，B
₁表示乙有兩次射擊中恰好命中l次．
依題意有P(A1)=

C

k 2

(

3

4

)k(

1

4

)2-k，k=0，1，2.
P(B1)=

C

l 2

(

4

5

)l(

1

5

)2-l，l=0，1，2.
由獨立性知兩人命中次數相等的概率為
P（A₀B₀）+P（A₁B₁）+P（A₂B₂）
=P（A₀）P（B₀）+P（A₁）P（B₁）+P（A₂）+P（B₂）
(

1

4

)2•(

1

5

)2+

C

1 2

•

3

4

•

1

4

?

C

2 3

•

4

5

•

1

5

+

C

2 2

•(

3

4

)2

C

2 2

•(

4

5

)2
=

1

16

×

1

25

+

3

4

×

4

25

+

9

16

×

16

25

=

193

400

=0.4825.

點評：本小題主要考查相互獨立事件概率的計算，運用數學知識解決問題的能力，要想計算一個事件的概率，首先我們要分析這個事件是分類的（分幾類）還是分步的（分幾步），然后再利用加法原理和乘法原理進行求解．