Question

（選修4-4坐標系與參數方程）在極坐標系中，圓C的圓心C(3，

π

6

)，半徑r=6．
（1）寫出圓C的極坐標方程；
（2）若Q點在圓C上運動，P在OQ的延長線上，且OQ：QP=3：2，求動點P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）先利用圓心坐標與半徑求得圓的直角坐標方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得圓C的極坐標方程．
（2）由OQ：QP=3：2，得OQ：OP=3：5．設出P的極坐標，求出Q的坐標，代入圓C的方程．即可得到動點P的軌跡方程．

解答：解：（1）將圓心C (3，

π

6

)，化成直角坐標為（

3 3

2

，

3

2

），半徑R=6，（2分）
故圓C的方程為（x-

3 3

2

）²+（y-

3

2

）²=36．（4分）
再將C化成極坐標方程，得（ρcosθ-

3 3

2

）²+（ρsinθ-

3

2

）²=36．（6分）
化簡，得 ρ2=6ρcos(θ-

π

6

)-27．
此即為所求的圓C的方程．（10分）
（2）由OQ：QP=3：2，得OQ：OP=3：5．設P（ρ，θ），則Q（

3

5

ρ，θ），因為Q在圓C上，
所以點P的極坐標方程為：(

3

5

ρ)2=6×

3

5

ρcos(θ-

π

6

)-27：
ρ2=10ρcos(θ-

π

6

)-75=10cos(θ-

π

6

)-75．

點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，即利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即可，注意相關點求出軌跡方程的方法．易錯點為ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，的轉化，以及相關點的化簡代入．