Question

已知雙曲線，過點P（1，1）能否作一條直線l，與雙曲線交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點？如果能，求出直線l的方程；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：先假設存在這樣的直線l，分斜率存在和斜率不存在設出直線l的方程，當k存在時，與雙曲線方程聯立，消去y，得到關于x的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個不同點，則△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜，M是線段AB的中點，則=1，k=2 與k＜矛盾，當k不存在時，直線經過點P但不滿足條件，故符合條件的直線l不存在．
解答：解：設過點P（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1或x=1
（1）當k存在時，有y=k（x-1）+1，，
得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0    （1）
當直線與雙曲線相交于兩個不同點，則必有
△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜，
又方程（1）的兩個不同的根是兩交點A、B的橫坐標
∴x₁+x₂=，又P（1，1）為線段AB的中點
∴=1，即=1，k=2．
∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此當k=2時，方程（1）無實數解
故過點P（1，1）與雙曲線交于兩點A、B且P為線段AB中點的直線不存在．
（2）當x=1時，直線經過點P但不滿足條件，
綜上，符合條件的直線l不存在．
點評：本題考查直線與雙曲線的位置關系的應用，考查雙曲線的性質，考查運算求解能力，解題時要認真審題，注意韋達定理的靈活運用．