Question

如圖，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB．D、E分別為棱C₁C、B₁C₁的中點．
（1）求A₁B與平面A₁C₁CA所成角的大小；
（2）求二面角B-A₁D-A的大小；
（3）試在線段AC上確定一點F，使得EF⊥平面A₁BD．

Answer 1

【答案】分析：法一：
（1）連接A₁C．由A₁B₁C₁-ABC為直三棱柱，知CC₁⊥底面ABC，CC₁⊥BC．由AC⊥CB，知BC⊥平面A₁C₁CA．所以∠BA₁C為A₁B與平面A₁C₁CA所成角，由此能求出A₁B與平面A₁C₁CA所成角的大小．
（2）分別延長AC，A₁D交于G．過C作CM⊥A₁G 于M，連接BM，由BC⊥平面ACC₁A₁，知CM為BM在平面A₁C₁CA內的射影，所以∠CMB為二面角B-A₁D-A的平面角，由此能求出二面角B-A₁D-A的大小．
（3）取線段AC的中點F，則EF⊥平面A₁BD．證明如下：由A₁B₁C₁-ABC為直三棱柱，知B₁C₁∥BC，由B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，能證明EF⊥平面A₁BD．
解法二：
（1）同解法一
（2）由A₁B₁C₁-ABC為直三棱柱，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB，D、E分別為C₁C、B₁C₁的中點．建立空間直角坐標系得：C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），C₁（0，0，2），B₁（2，0，2），A₁（0，2，2），D（0，0，1），E（1，0，2）．用向量法求二面角B-A₁D-A的大小．
（3）F為AC上的點，故可設其坐標為（0，b，0），所以．由向量法證明EF⊥平面A₁BD．
解答：（本小題共13分）
解法一
解：（1）連接A₁C．∵A₁B₁C₁-ABC為直三棱柱，
∴CC₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥BC．
∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A₁C₁CA．
∴∠BA₁C為A₁B與平面A₁C₁CA所成角，
．
∴A₁B與平面A₁C₁CA所成角為．
（2）分別延長AC，A₁D交于G．
過C作CM⊥A₁G 于M，連接BM，
∵BC⊥平面ACC₁A₁，
∴CM為BM在平面A₁C₁CA內的射影，
∴BM⊥A₁G，∴∠CMB為二面角B-A₁D-A的平面角，
平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D為C₁C的中點，
∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，
∴，∴．
即二面角B-A₁D-A的大小為．
（3）取線段AC的中點F，則EF⊥平面A₁BD．
證明如下：
∵A₁B₁C₁-ABC為直三棱柱，∴B₁C₁∥BC，
∵由（1）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，
∵EF在平面A₁C₁CA內的射影為C₁F，當F為AC的中點時，
C₁F⊥A₁D，∴EF⊥A₁D．
同理可證EF⊥BD，
∴EF⊥平面A₁BD．
解法二：
（1）同解法一
（2）∵A₁B₁C₁-ABC為直三棱柱，C₁C=CB=CA=2，
AC⊥CB，D、E分別為C₁C、B₁C₁的中點．
建立如圖所示的坐標系得：
C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），
C₁（0，0，2），B₁（2，0，2），A₁（0，2，2），
D（0，0，1），E（1，0，2）．
∴，，
設平面A₁BD的法向量為=（1，λ，μ），
∴∴．
平面ACC₁A₁的法向量為=（1，0，0），．
即二面角B-A₁D-A的大小為．
（3）F為AC上的點，故可設其坐標為（0，b，0），
∴．
由（2）知是平面A₁BD的一個法向量，
欲使EF⊥平面A₁BD，當且僅當∥．
∴b=1，
∴當F為AC的中點時，EF⊥平面A₁BD．
點評：本題考查直線與平面所成角的求法、二面角的求法和直線與平面垂直的證明．解題時要認真審題，注意合理地把立體問題轉化為平面問題．