Question

在直角坐標系xOy中，曲線C₁的點均在C₂：（x-5）²+y²=9外，且對C₁上任意一點M，M到直線x=-2的距離等于該點與圓C₂上點的距離的最小值．
（Ⅰ）求曲線C₁的方程；
（Ⅱ）設P（x₀，y₀）（y₀≠±3）為圓C₂外一點，過P作圓C₂的兩條切線，分別與曲線C₁相交于點A，B和C，D．證明：當P在直線x=-4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值．
（Ⅲ）設P（-4，1）為圓C₂外一點，過P作圓C₂的兩條切線，分別與曲線C₁相交于點A，B和C，D．證明：四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設知，曲線C₁上任意一點M到圓心C₂（5，0）的距離等于它到直線x=-5的距離，根據拋物線的定義，可得求曲線C₁的方程；
（Ⅱ）設切線方程為y-y₀=k（x+4），與拋物線方程聯立，利用韋達定理，即可得出結論；
（Ⅲ）因為當P（-4，1）在直線x=-4上，所以由（Ⅱ）知結論成立．

解答：（Ⅰ）解：由題設知，曲線C₁上任意一點M到圓心C₂（5，0）的距離等于它到直線x=-5的距離，
因此，曲線C₁是以（5，0）為焦點，直線x=-5為準線的拋物線，
故其方程為y²=20x．
（Ⅱ）證明：當點P在直線x=-4上運動時，P的坐標為（-4，y₀），
又y₀≠±3，則過P且與圓C₂相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個交點，
切線方程為y-y₀=k（x+4），即kx-y+y₀+4k=0．于是

|5k+y0+4k|

k2+1

=3
整理得72k2+18y0k+y02-9=0①
設過P所作的兩條切線PA，PC的斜率分別為k₁，k₂，則k₁，k₂是方程①的兩個實根，
故k₁+k₂=-

18y0

72

=-

y0

4

②
由

k1x-y+y0+4k1=0 y2=20x

得k1y2-20y+20(y0+4k1)=0 ③
設四點A，B，C，D的縱坐標分別為y₁，y₂，y₃，y₄，則是方程③的兩個實根，
所以y₁y₂=

20(y0+4k1)

k1

④
同理可得y₃y₄=

20(y0+4k2)

k2

⑤
于是由②，④，⑤三式得y₁y₂y₃y₄=

20(y0+4k1)

k1

•

20(y0+4k2)

k2

=

400(y02-y02+16k1k2)

k1k2

=6400．
所以，當P在直線x=-4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值6400．
（Ⅲ）證明：因為當P（-4，1）在直線x=-4上，
所以由（Ⅱ）知四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值6400．

點評：本題考查拋物線的定義，考查拋物線的切線，考查學生分析解決問題的能力，難度大．