Question

已知△ABC的頂點A（0，1），AB邊上的中線CD所在的直線方程為2x-2y-1=0，AC邊上的高BH所在直線的方程為y=0．
（1）求△ABC的頂點B、C的坐標；
（2）若圓M經過不同的三點A、B、P（m，0），且斜率為1的直線與圓M相切于點P，求圓M的方程；
（3）問圓M是否存在斜率為1的直線l，使l被圓M截得的弦為DE，以DE為直徑的圓經過原點．若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由AC邊上的BH所在的直線方程為y=0，即為x軸，根據兩直線垂直時滿足的關系，得到AC所在直線應為y軸，即x=0，與中線CD所在的直線方程聯立組成方程組，求出方程組的解集得到C的坐標，由B在x軸上，設出B的坐標為（b，0），利用中點坐標公式表示出AB的中點坐標，代入中線CD所在直線的方程，求出b的值，確定出B的坐標；
（2）根據垂徑定理得到弦AB的垂直平分線過圓心M，根據AB的斜率，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1求出弦AB垂直平分線的斜率，再由AB中點坐標，寫出弦AB垂直平分線的方程，又圓M與直線x-y+3=0相切，由切點P以及求出的斜率寫出此直線的方程，與弦AB垂直平分線的方程聯立組成方程組，求出方程組的解可得出圓心M的坐標，再由A和M的坐標，利用兩點間的距離公式求出|AM|的長，即為圓M的半徑，由圓心和半徑寫出圓M的標準方程，化簡后即可得到圓M的方程．
（3）設出直線方程利用直線與圓的方程聯立方程組，通過判別式與韋達定理，利用DE為直徑的圓經過原點．得到x₁x₂+y₁y₂=0，求出k的值，然后求出直線方程．

解答：解：（1）∵AC邊上的高BH所在直線的方程為y=0，即為x軸，
∴直線AC的方程為y軸，即為直線x=0，又直線CD：2x-2y-1=0，
聯立得：

x=0 2x-2y-1=0

解得：

x=0 y=- 1 2

∴C（0，-

1

2

），
設B（b，0），又A（0，1），
∴AB的中點D（

b

2

，

1

2

），
把D坐標代入方程2x-2y-1=0得：b-1-1=0，解得：b=2，
∴B（2，0）；（4分）
（2）由A（0，1），B（2，0）可得：
線段AB中點坐標為（1，

1

2

），k_AB=-

1

2

，
∴弦AB垂直平分線的斜率為2，
則圓M的弦AB的中垂線方程為4x-2y-3=0，①
又圓M與x-y+3=0相切，切點為（-3，0），且x-y+3=0的斜率為1，
∴圓心所在直線方程的斜率為-1，
則圓心所在直線為y-0=-x+3），即y+x+3=0，②
聯立①②，

4x-2y-3=0 y+x+3=0

解得：

x=- 1 2 y=- 5 2

，∴M（-

1

2

，-

5

2

），（6分）
∴半徑|MA|=

1 4 + 49 4

=

50

2

，所以所求圓方程為（x+

1

2

）²+（y+

5

2

）²=

50

4

，
即x²+y²+x+5y-6=0．  （8分）
（3）假設存在直線l，不妨設所求直線l方程為y=x+k，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
聯立方程

y=x+k x2+y2+x+5y-6=0

得：2x²+（2k+6）x+k²+5k-6=0…（9分）
又△=（2k+6）²-8（k²+5k-6）＞0得-7＜k＜3…（10分）
x1x2=

k2+5k-6

2

，x₁+x₂=-（k+3），y1y2=x1x2+k(x1+x2)+k2=

k2-k-6

2

…（11分）
依題意得   x₁x₂+y₁y₂=0…（12分）
故k²+2k-6=0解得：k1=-1+

7

，k2=-1-

7

…（13分）
經驗證，滿足題意．
故所求直線方程為：y=x-1+

7

或y=x-1-

7

…（14分）

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：線段中點坐標公式，兩直線垂直時斜率滿足的關系，直線的點斜式方程，切線的性質，垂徑定理，以及圓的標準方程，是一道綜合性較強的常考題．