Question

（2013•揭陽二模）如圖已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線為l，焦點為F，圓M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切．過原點作傾斜角為

π

3

的直線t，交l于點A，交圓M于點B，且|AO|=|OB|=2．
（1）求圓M和拋物線C的方程；
（2）試探究拋物線C上是否存在兩點P，Q關于直線m：y=k（x-1）（k≠0）對稱？若存在，求出直線m的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的定義可知：|OD|=

p

2

；直角三角形的邊角關系可得

p

2

=|OA|cos60°，由垂徑定理可得|OE|=

|OB|

2

，可得圓心與半徑，根據圓的標準方程即可得出；
（2）利用“點差法”及由PQ⊥m?k_PQ•k=-1，可得PQ中點D（x₀，y₀）的縱坐標y₀=-2k，又D（x₀，y₀）在m：y=k（x-1）（k≠0）上，可得x₀=-1＜0，點D（x₀，y₀）在拋物線外．即可判斷出．

解答：解：（1）如圖所示，設準線l與x軸相較于點D，則|OD|=

p

2

．
在Rt△OAD中，

p

2

=|OA|cos60°=2×

1

2

=1，即p=2，
∴所求拋物線的方程為y²=4x．
∴設圓的半徑為r，作ME⊥t，垂足為E，由垂徑定理可得|OE|=

|OB|

2

，在Rt△OME中，r=

OB

2

•

1

cos60°

=2，
∴圓的方程為（x-2）²+y²=4．
（2）設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）關于直線m對稱，且PQ中點D（x₀，y₀）．
∵P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）在拋物線C上，∴

y

2 3

=4x3， 

y

2 4

=4x4
兩式相減得：（y₃-y₄）（y₃+y₄）=4（x₃-x₄）．
好∵PQ⊥m，∴k_PQ•k=-1，好
∴y3+y4=4•

x3-x4

y3-y4

=

4

kPQ

=-4k，∴y₀=-2k．
∵D（x₀，y₀）在m：y=k（x-1）（k≠0）上
∴x₀=-1＜0，點D（x₀，y₀）在拋物線外．
∴在拋物線C上不存在兩點P，Q關于直線m對稱．

點評：熟練掌握直角三角形的邊角關系、垂徑定理、拋物線的定義、圓的標準方程、軸對稱的性質和相互垂直的直線的斜率之間的關系設解題的關鍵．