Question

設函數f（x）=|x-4|+|x-a|（a＜4）．
（Ⅰ）若f（x）的最小值為3，求a值；
（Ⅱ）求不等式f（x）≥3-x的解集．

Answer 1

（1）因為函數f（x）=|x-4|+|x-a|≥|（x-4）-（x-a）|=|a-4|，
因為a＜4，所以當且僅當 a≤x≤4時等號成立，故|a-4|=3，即a=1．
（2）不等式f（x）≥3-x，即不等式|x-4|+|x-a|≥3-x，a＜4，
①當x＜a時，原不等式可化為 4-x+a-x≥3-x，x≤a+1．
所以，當x＜a時，原不等式成立．
②當a≤x≤4時，原不等式可化為4-x+x-a≥3-x，
即x≥a-1，所以，當a≤x≤4時，原不等式成立．
③當x＞4時，原不等式可化為 x-4+x-a≥3-x，
即x≥

a+7

3

由于a＜4時 4＞

a+7

3

．
所以，當x＞4時，原不等式成立．
綜合①②③可知：不等式f（x）≥3-x的解集為R．